​奇函数的性质和推论

奇函数的性质和推论

设函数y=f（x）为奇函数，则可以得到如下性质。

性质1、奇函数f(x)的定义域关于原点对称。

【推论】如果奇函数f(x)的定义域为（a，b）（或[a,b]），则必有a=-b。

性质2、奇函数f(x)的函数图象关于原点对称。

【推论】奇函数f(x)在对称区间上的值域也关于原点对称。

性质3、如果奇函数y=f(x)的定义域中有“0”，则必有f(0)=0.

性质4、对于定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x)成立。

【推论1】：对于定义域内的任意x都有f(x)+f(-x)=0成立。

【推论2】：对于定义域内的任意x都有f(x)/f(-x)=f(-x)/f(x)=-1成立。

【注】注意分母不恒为0.

性质5、奇函数在对称区间上的单调性相同。

【推论】如果y=g(x)为全体实数R上的奇函数，并且y=g(x)在(-∝,0]（或[0,+∝)）上单调递增，则y=g(x)为全体实数R上的增函数；如果y=g(x)为全体实数R上的奇函数，并且y=g(x)在(-∝,0]（或[0,+∝)）上单调递减，则y=g(x)为全体实数R上的减函数。

奇函数四则运算后的奇偶性

假设y=f(x)、y=g(x)都为奇函数，并且y=f(x)与y=g(x)二者定义域的交集非空，则f(x)、g(x)四则运算后的函数的奇偶性如下：

1、两个奇函数的和或差仍为奇函数。即：f(x)±g(x)仍为奇函数。

2、两个奇函数的积或商都为偶函数。即：f(x)g(x)、f(x)÷g(x)、g(x)÷f(x)、f(x)/g(x)、g(x)/f(x)都为偶函数。

3、奇函数与偶函数的和或差都为非奇非偶函数。

4、奇函数与偶函数的积或商（除数不为0）都为奇函数。

【注】本文中的奇函数、偶函数都不是“y=0”。因为在定义域关于原点对称的前提下，“y=0”既是奇函数又是偶函数。而y=0与自身的和或差仍满足既是奇函数又是偶函数。

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